Étudier une fonction

Exemple

Soit la fonction \(f(x)=3x^2-12x+2\) définie sur \([1;20]\).

1. Je repère l'intervalle de définition de la fonction.

Ici, la fonction \(f\) est définie sur \([1;20]\).

2. Je trouve la dérivée \(f'\) de la fonction \(f\).

\(f'(x) = 6x - 12\)

3. Je résous l'équation \(f'(x)=0\) et je détermine le signe de la dérivée sur l'intervalle \([1;20]\).

L'équation \(6x - 12 = 0\) admet une solution : \(x = 2\). Cette valeur appartient bien à l'intervalle \([1;20]\).

• La dérivée \(f'(x)\) est positive lorsque \(6x - 12 > 0\), c'est-à-dire pour \(x > 2\).
• La dérivée \(f'(x)\) est négative lorsque \(6x - 12 < 0\), c'est-à-dire pour \(x < 2\).
  

4. Je dresse le tableau de signes de \(f'(x)\).

5. Je dresse le tableau de variations de la fonction \(f\).

La fonction \(f\) est dérivable sur \([1;20]\). La dérivée \(f'(x) = 6x - 12\) est négative sur \([1;2[\), nulle en \(x = 2\), puis positive sur \(]2;20]\). Ainsi, \(f\) est décroissante sur \([1;2]\) et croissante sur \([2;20]\).

6. Je recherche les extremum de \(f\) sur \([1;20]\).

La fonction atteint son minimum en \(x = 2\) (\(f(2) = -10\)) sur l'intervalle \([1;20]\).